Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點為F（2，0），且雙曲線的漸近線與圓（x-2）²+y²=3相切，則雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{13}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{13}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由題意可得雙曲線的漸近線方程，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑得$\frac{2b}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}=\sqrt{3}$，求出a，b的關(guān)系，結(jié)合焦點為F（2，0），求出a，b的值，即可得到雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0，
∵雙曲線的漸近線與圓（x-2）²+y²=3相切，
∴$\frac{2b}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}=\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3}$a，
∵焦點為F（2，0），
∴a²+b²=4，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故選：D．

點評 本題考查點到直線的距離公式，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出a，b的值，是解題的關(guān)鍵．