【題目】設(shè)函數(shù),,.
(1)若函數(shù)有兩個零點,試求的取值范圍;
(2)證明.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)零點的個數(shù)確定a的范圍即可;(2)設(shè)h(x)=(x﹣1)ex﹣ln(x﹣1)﹣x﹣1,其定義域為(1,+∞),只需證明h(x)≥0即可,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h(x)的最小值,從而證出結(jié)論.
詳解:(1)函數(shù)的定義域為,由已知得.
①當(dāng)時,函數(shù)只有一個零點;
②當(dāng),因為, 當(dāng)時,;當(dāng)時,.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又,,
因為,所以,所以,
所以,取,顯然且
所以,.
由零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)有兩個零點.
③當(dāng)時,由,得或.
當(dāng),則.當(dāng)變化時,,變化情況如下表:
0 | |||||
0 | - | 0 | |||
-1 |
注意到,所以函數(shù)至多有一個零點,不符合題意.
當(dāng),則,在單調(diào)遞增,函數(shù)至多有一個零點,不符合題意.
若,則.當(dāng)變化時,,變化情況如下表:
0 | |||||
0 | - | 0 | |||
-1 |
注意到當(dāng),時,,,
所以函數(shù)至多有一個零點,不符合題意.
綜上,的取值范圍是.
(2)證明:.
設(shè),其定義域為,則證明即可.
因為,取,則
,且.
又因為,所以函數(shù)在上單增.
所以有唯一的實根,且.
當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以函數(shù)的最小值為.
所以.
所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地西紅柿從2月1號起開始上市,通過市場調(diào)查,得到西紅柿種植成本(單位:元/100)與上市時間(距2月1日的天數(shù),單位:天)的數(shù)據(jù)如下表:
時間 | 50 | 110 | 250 |
成本 | 150 | 108 | 150 |
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本與上市時間的變化關(guān)系:;
(2)利用(1)中選取的函數(shù),求西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)及最低種植成本.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求證:
(2)若函數(shù)的圖象與直線沒有交點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù),則是否存在實數(shù),使得的最小值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某盒子中共有個小球,編號為號至號,其中有個紅球、個黃球和個綠球,這些球除顏色和編號外完全相同.
(1)若從盒中一次隨機取出個球,求取出的個球中恰有個顏色相同的概率;
(2)若從盒中逐一取球,每次取后立即放回,共取次,求恰有次取到黃球的概率;
(3)若從盒中逐一取球,每次取后不放回,記取完黃球所需次數(shù)為,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4).
(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,
求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市規(guī)定,高中學(xué)生在校期間須參加不少于80小時的社區(qū)服務(wù)才合格.某校隨機抽取20位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù),按時間段(單位:小時)進行統(tǒng)計,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求抽取的20人中,參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生人數(shù);
(2)從參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生中任意選取2人,求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,記函數(shù)的圖象為曲線C1,函數(shù)的圖象為曲線C2.
(Ⅰ)比較f(2)和1的大小,并說明理由;
(Ⅱ)當(dāng)曲線C1在直線y=1的下方時,求x的取值范圍;
(Ⅲ)證明:曲線C1和C2沒有交點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某運輸公司接受了向抗洪救災(zāi)地區(qū)每天送至少支援物資的任務(wù).該公司有輛載重的型卡車與輛載重為的型卡車,有名駕駛員,每輛卡車每天往返的次數(shù)為型卡車次,型卡車次;每輛卡車每天往返的成本費型為元,型為元.請為公司安排一下,應(yīng)如何調(diào)配車輛,才能使公司所花的成本費最低?若只安排型或型卡車,所花的成本費分別是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù).在以原點為極點,為參數(shù)).在以原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線C的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè),直線與曲線C交于M,N兩點,求的值.
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