Question

已知函數(shù)f （x）=4sin²（

π

4

+x）-2

3

cos2x-1（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期、最大值及最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）問(wèn)f （x）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換才能得到y(tǒng)=-4sinx的圖象？

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先將解析式化簡(jiǎn)變形為y=4sin(2x-

π

3

)+1，然后求周期及最值、單調(diào)區(qū)間，以及變換方式．

解答： 解：由f （x）=4sin²（

π

4

+x）-2

3

cos2x-1
=2[1-cos(

π

2

+2x)]-2

3

cos2x-1
=2sin2x-2

3

cos2x+1
=4(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)+1
=4sin(2x-

π

3

)+1
（1）T=

2π

2

=π，f(x)max=5，f(x)min=-3
（2）由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，
解得

5π

6

+2kπ≤2x≤

11π

6

+2kπ，
∴

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]，k∈Z；
（3）將y=4sin(2x-

π

3

)+1向左平移

π

6

個(gè)單位得到y(tǒng)=4sin2x+1，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到y(tǒng)=4sinx+1，繼續(xù)向下平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=4sinx圖象，最后將圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象，得到y(tǒng)=-4sinx圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)恒等變形、三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)圖象的變換；熟練三角函數(shù)倍角公式以及恒等變形的方法是解答的關(guān)鍵，是經(jīng)常考查的題型．