Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2

3

x3+ax2+x，
（1）若當(dāng)x=-1時，f（x）取得極值，求a的值，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值，求a的取值范圍；
（3）若a為任意實(shí)數(shù)，試求出f′（sinx）的最小值g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=2x²+2ax+1，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由f′（x）=2x²+2ax+1，若f（x）存在極值，判別式大于零，由此能求出結(jié)果．
（3）由f′(sinx)=2sin2x+2asinx+1=2(sinx+

a

2

)2+1-

a2

2

，利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f′（sinx）的最小值g（a）的表達(dá)式．

解答： 解：（1）f′（x）=2x²+2ax+1
當(dāng)x=-1時，f（x）取得極值，故f′(-1)=2-2a+1=0⇒a=-

3

2

∴f′（x）=2x²-3x+1=（x-1）（2x-1）
令f′(x)＞0⇒x＜

1

2

或x＞1，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，

1

2

)和(1，+∞)
令f′(x)＜0⇒

1

2

＜x＜1，
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(

1

2

，1)
（2）f′（x）=2x²+2ax+1，
若f（x）存在極值，
則△=(2a)2-4×2＞0⇒a＜-

2

或a＞

2

．
∴a的取值范圍是（-∞，-

2

）∪（

2

，+∞）．
（3）f′(sinx)=2sin2x+2asinx+1=2(sinx+

a

2

)2+1-

a2

2

，
（i）若-

a

2

≤-1，即a≥2時，g（a）=f（-1）=3-2a；
（ii）若-1＜-

a

2

＜1，即-2＜a＜2時，g(a)=f(-

a

2

)=1-

a2

2

；
（iii）若-

a

2

≥1，即a≤-2時，g（a）=f（1）=3+2a
綜上g(a)=

3-2a，a≥2 1- a2 2 ，-2＜a＜2 3+2a，a≤-2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)的最小值的表達(dá)式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．