Question

20．設函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，如果f（x）是奇函數(shù)，當0＜x＜$\frac{1}{2}$，f（x）=3^x．
（1）求f（$\frac{2001}{4}$）；
（2）當2k+$\frac{1}{2}$＜x＜2k+1時，求f（x）（k∈Z）的解析式；
（3）是否存在整數(shù)k，使得當2k+$\frac{1}{2}$＜x＜2x+1時，log₃f（x）＞x²-kx-2k有解．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，得f（x+2）=-$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），f（$\frac{2001}{4}$）=f（$\frac{1}{4}$），進而結合當0＜x＜$\frac{1}{2}$，f（x）=3^x，可得答案．
（2）由已知中當0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f（x）=3^x．結合（1）中結論，可得f（x）在區(qū)間（2k+$\frac{1}{2}$，2k+1）上的解析式；
（3）由（2）的結論及指數(shù)的運算性質，我依次為可將不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k轉化為二次不等式的形式，進而分析出對應函數(shù)在區(qū)間（2k+$\frac{1}{2}$，2k+1）上的單調性，即可得到結論．

解答 解：（1）由f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，得f（x+2）=-$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），
∴f（$\frac{2001}{4}$）=f（$\frac{1}{4}$），
∵當0＜x＜$\frac{1}{2}$，f（x）=3^x，
∴f（$\frac{1}{4}$）=${3}^{\frac{1}{4}}$，
∴f（$\frac{2001}{4}$）=${3}^{\frac{1}{4}}$；
（2）當$\frac{1}{2}$＜x＜1時，0＜1-x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（1-x）=3^1-x．     
而f（1-x）=-$\frac{1}{f（-x）}$=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x）=3^x-1．       
當2k+$\frac{1}{2}$＜x＜2k+1時，$\frac{1}{2}$＜x-2k＜1，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．                      
（3）不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k即為x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0．                        
令g（x）=x²-（k+1）x+1，對稱軸為x=$\frac{k+1}{2}$＜2k+$\frac{1}{2}$，
因此函數(shù)g（x）在（2k+$\frac{1}{2}$，2k+1）上單調遞增．        
∵g（2k+$\frac{1}{2}$）=（2k+$\frac{1}{2}$）²-（k+1）（2k+$\frac{1}{2}$）+1=（2k+$\frac{1}{2}$）（k-$\frac{1}{2}$）+1，k為正整數(shù)，
∴g（2k+$\frac{1}{2}$）＞0，因此x²-（k+1）x+1＜0在2k+$\frac{1}{2}$，2k+1）上恒成立，
因此不存在正整數(shù)k使不等式有解．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用，其中（1）的關鍵由已知條件得到f（$\frac{2001}{4}$）=f（$\frac{1}{4}$），（2）的關鍵是由已知判斷出f（x）=f（x-2k），（3）的關鍵是根據(jù)（2）的結論構造關于k的不等式．