Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-x+alnx，其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[1，4]上的最值；
（2）若f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

（n∈N^*）恒成立．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-6時，由f′（x）=0得x=2，可判斷出當(dāng)x∈[1，2）時，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，4]時，
f（x）單調(diào)遞增，從而得到f（x）在[1，4]上的最值．
（2）要使f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，即f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個不同的交點，即使f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不等實根，即2x²-x+a=0在（0，+∞）有兩不等實根，可以利用一元二次函數(shù)根的分布，即可求a的范圍．
（3）先構(gòu)造函數(shù)h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的最小值，從而得到ln（x+1）＞x²-x³，最后令x=

1

n

，即可證得結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-6時，f（x）=x²-x-6lnx（x＞0），
f′(x)=2x-1-

6

x

=

2x2-x-6

x

=

(x-2)(2x+3)

x

，
令f′(x)=0⇒x1=2，x2=-

3

2

（舍），
當(dāng)1≤x＜2時，f′（x）0．
∴f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，在[2，4]上為增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（2）=2-6ln2，f（1）=0，f（4）=12-6ln4＞0．
∴f（x）_max=f（4）=12-6ln4=12（1-ln2）；
（2）f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，
即f′（x）=0在（0，+∞）有兩不等根，
即2x²-x+a=0在（0，+∞）有兩不等實根，
令g（x）=2x²-x+a，則

△=(-1)2-8a＞0 g(0)=a＞0

，解得0＜a＜

1

8

；
（3）令函數(shù)h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）
則h′（x）=3x²-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

，
∴當(dāng)x∈[0，+∞）時，h′（x）＞0
∴函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取x=

1

n

∈（0，+∞），則有l(wèi)n（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．
即不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

（n∈N^*）恒成立．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性．第一問判斷f（x）在定義域的單調(diào)性即可求出最小值．第二問將f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值問題轉(zhuǎn)化為f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個不同的交點是解題的關(guān)鍵，第三問的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，是壓軸題．