Question

如圖，已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線

交橢圓于不同的兩點(diǎn)．

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使△是以為直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，由離心率的值及橢圓過(guò)點(diǎn)（4，1）求出待定系數(shù)，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍即可；

（3）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足題意，再利用△ABM為直角三角形，結(jié)合向量垂直的條件求出m，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

試題解析：【解析】
（1）依題意，解得， 2分

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是． 3分

（2）由得， 4分

直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

6分

解得 7分

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意，則由為直角得， 8分

設(shè)，，由（2）得， 9分

， 10分

， 11分

12分

得 13分

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綜上所述，存在實(shí)數(shù)使△為直角三角形． 14分

考點(diǎn)：1.直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．