Question

6．如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點(diǎn)E在CC₁上且C₁E=3EC．
（1）證明：A₁C⊥平面BED
（2）求二面角A₁-DE-B的大小的正切值．

Answer 1

分析 法一：（Ⅰ）要證A₁C⊥平面BED，只需證明A₁C與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直；
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足為H，連接A₁H，說明∠A₁HG是二面角A₁-DE-B的平面角，然后解三角形，求二面角A₁-DE-B的大�。�
法二：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，（Ⅰ）求出$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DB}=0，\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DE}=0$，證明A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）求出 平面DA₁E和平面DEB的法向量，求二者的數(shù)量積可求二面角A₁-DE-B的大�。�即可得到結(jié)論．

解答 解：解法一：依題設(shè)知AB=2，CE=1．
（Ⅰ）連接AC交BD于點(diǎn)F，則BD⊥AC．
由三垂線定理知，BD⊥A₁C．（3分）
在平面A₁CA內(nèi)，連接EF交A₁C于點(diǎn)G，
由于$\frac{{A{A_1}}}{FC}=\frac{AC}{CE}=2\sqrt{2}$，
故Rt△A₁AC∽R(shí)t△FCE，∠AA₁C=∠CFE，∠CFE與∠FCA₁互余．
于是A₁C⊥EF．A₁C與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直，
所以A₁C⊥平面BED．（6分）
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足為H，連接A₁H．由三垂線定理知A₁H⊥DE，
故∠A₁HG是二面角A₁-DE-B的平面角．（8分）
$EF=\sqrt{C{F^2}+C{E^2}}=\sqrt{3}$，$CG=\frac{CE×CF}{EF}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，$EG=\sqrt{C{E^2}-C{G^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．$\frac{EG}{EF}=\frac{1}{3}$，$GH=\frac{1}{3}×\frac{EF×FD}{DE}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{15}}}$．
又${A_1}C=\sqrt{AA_1^2+A{C^2}}=2\sqrt{6}$，${A_1}G={A_1}C-CG=\frac{{5\sqrt{6}}}{3}$．$tan∠{A_1}HG=\frac{{{A_1}G}}{HG}=5\sqrt{5}$．
所以二面角A₁-DE-B的大小的正切值為5$\sqrt{5}$．（（12分）
解法二：
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸的正半軸，
建立如圖所示直角坐標(biāo)系D-xyz．

依題設(shè)，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．
$\overrightarrow{DE}=（0，2，1），\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（-2，2，-4），\overrightarrow{D{A_1}}=（2，0，4）$．（3分）
（Ⅰ）因?yàn)?\overrightarrow{{A_1}C}•\overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{{A_1}C}•\overrightarrow{DE}=0$，
故A₁C⊥BD，A₁C⊥DE．
又DB∩DE=D，
所以A₁C⊥平面DBE．（6分）
（Ⅱ）設(shè)向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，則$n⊥\overrightarrow{DE}$，$n⊥\overrightarrow{D{A_1}}$．
故2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，則z=-2，x=4，$\overrightarrow{n}$=（4，1，-2）．（9分），
$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{A}_{1}C}＞$等于二面角A₁-DE-B的平面角，$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{A}_{1}C}=＞\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{A}_{1}C}|}=\frac{\sqrt{14}}{42}$
所以二面角A₁-DE-B的大小為$arccos\frac{{\sqrt{14}}}{42}$．
∴tan$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{A}_{1}C}＞$=5$\sqrt{5}$，
即二面角A₁-DE-B的大小的正切值為5$\sqrt{5}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，利用定義法或者建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決二面角常用的方法．