Question

14．已知橢圓C經(jīng)過點A（2，3）、B（4，0），對稱軸為坐標軸，焦點F₁、F₂在x軸上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求∠F₁AF₂的角平分線所在的直線l與橢圓C的另一個交點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0，利用待定系數(shù)法能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）直線AF₁的方程為3x-4y+6=0，求出直線l的方程為2x-y-x=0，與橢圓聯(lián)立，得19x²-16x-44=0，由此利用韋達定理能求出直線l與橢圓C的另一個交點坐標．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C經(jīng)過點A（2，3）、B（4，0），對稱軸為坐標軸，焦點F₁、F₂在x軸上，
∴設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}=1}\\{\frac{16}{{a}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=16，b²=12，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）∵橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
∴F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），則直線AF₁的方程為y=$\frac{3}{4}（x+2）$，即3x-4y+6=0，
直線AF₂的方程為x=2，由點A在橢圓C上的位置得直線l的斜率為正數(shù)，
設(shè)P（x，y）為直線l上一點，則$\frac{|3x-4y+6|}{9+16}$=|x-2|，
解得2x-y-1=0或x+2y-8=0（斜率為負，舍），
∴直線l的方程為2x-y-x=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，整理，得19x²-16x-44=0，
設(shè)直線l與橢圓C的另一個交點為M（x₀，y₀），
則有${x}_{0}+2=\frac{16}{9}$，解得${x}_{0}=-\frac{22}{9}$，${y}_{0}=2{x}_{0}-1=-\frac{63}{19}$，
∴直線l與橢圓C的另一個交點坐標為（-$\frac{22}{19}$，-$\frac{63}{19}$）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的另一個交點坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達定理的合理運用．