Question

已知△ABC的外接圓的半徑為3，且cos（A-B）cosB-sin（A-B）sin（A+C）=

1

2

；
（1）求角A；
（2）求△ABC面積的最大值，并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式左邊變形后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）由正弦定理列出關(guān)系式，把R與sinA的值代入求出a的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，把cosA的值代入利用基本不等式求出bc的最大值，確定出三角形面積的最大值，以及此時三角形的形狀．

解答： 解：（1）∵△ABC中，cos（A-B）cosB-sin（A-B）sin（A+C）=cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=cos（A-B+B）=cosA=

1

2

，
∴A=60°；
（2）由正弦定理

a

sinA

=2R得：a=2RsinA=6×

3

2

=3

3

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤27，當且僅當b=c時取等號，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×27×

3

2

=

27 3

4

，
則△ABC面積的最大值為

27 3

4

，此時△ABC為等邊三角形．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．