Question

8．如圖，BC是圓O的直徑，點F在弧$\widehat{BC}$上，點A為弧$\widehat{BF}$的中點，作AD⊥BC于點D，BF與AD交于點E，BF與AC交于點G．
（1）證明：AE=BE；
（2）若AG=9，GC=7，求圓O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接AB，由點A為弧$\widehat{BF}$的中點，可得∠ABF=∠ACB，由BC是圓O的直徑，則∠BAD=∠ACB，即∠ABF=∠BAD，即可求證AE=BE；
（2）由（1）可知：△ABG∽△ACB，AB²=AG•AC=9×16，RT△ABC中，由勾股定理知BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$，即可求得圓O的半徑．

解答 解：（1）證明：連接AB，由點A為弧$\widehat{BF}$的中點，
故$\widehat{BA}$=$\widehat{AF}$，
∴∠ABF=∠ACB，
又∵AD⊥BC，BC是圓O的直徑，
∴∠BAD=∠ACB，
∴∠ABF=∠BAD，
∴AE=BE；
（2）由（1）可知：△ABG∽△ACB，
∴AB²=AG•AC=9×16，
AB=12，
RT△ABC中，由勾股定理知BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=20，
∴圓的半徑為10．

點評 本題考查圓的直徑的性質，考查三角形相似的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．