Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+ax+2，x∈[1，2]的圖象上存在兩點(diǎn)，在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則a的取值范圍為（-6，-2）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得兩切點(diǎn)處的切線的斜率，運(yùn)用兩直線垂直的條件，結(jié)合二次函數(shù)的值域求法，對(duì)a討論，考慮等式有解的條件，即可得到a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+ax+2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²+x+a，
設(shè)圖象上兩點(diǎn)（m，n），（s，t），且m，s∈[1，2]，
即有兩切線的斜率分別為k₁=m²+m+a，k₂=s²+s+a，
由在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，可得k₁k₂=-1，
即有m²+m+a=$\frac{-1}{{s}^{2}+s+a}$，
由m∈[1，2]，
則k₁=m²+m+a=（m+$\frac{1}{2}$）²+a-$\frac{1}{4}$∈[a+2，a+6]，
同樣k₂=s²+s+a∈[a+2，a+6]，
當(dāng)a≤-6時(shí)，k₁≤0，k₂≤0，不成立；
當(dāng)a≥-2時(shí)，k₁≥0，k₂≥0，不成立；
當(dāng)-6＜a＜-2時(shí)，k₁，k₂有正有負(fù)，等式成立，
即圖象上存在兩點(diǎn)，在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直．
故a的取值范圍為（-6，-2）．
故答案為：（-6，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時(shí)考查兩直線垂直的條件，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．