Question

已知f（x）=|3x+

1

a

|+3|x-a|．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）≥8的解集；
（Ⅱ）對(duì)任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的解析式，對(duì)x討論，當(dāng)x≥1時(shí)，當(dāng)-

1

3

＜x＜1時(shí)，當(dāng)x≤-

1

3

時(shí)，化簡(jiǎn)f（x），再解不等式，最后求并集即可；
（Ⅱ）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，可得f（x）的最小值為2

3

，再由不等式恒成立思想，可令m不大于最小值，即可得到m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）若a=1，則f（x）=|3x+1|+|3x-3|，
則當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=3x+1+3x-3=6x-2≥8，解得x≥

5

3

，則為x≥

5

3

；
當(dāng)-

1

3

＜x＜1時(shí)，f（x）=3x+1+3-3x=4≥8，無(wú)解，則x∈∅；
當(dāng)x≤-

1

3

時(shí)，f（x）=-3x-1+3-3x=2-6x≥8，解得x≤-1，則為x≤-1．
綜上可得x≤-1或x≥

5

3

．
則解集為（-∞，-1]∪[

5

3

，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=|3x+

1

a

|+3|x-a|≥|（3x+

1

a

）+（3a-3x）|=|

1

a

+3a|
=3a+

1

a

≥2

3a• 1 a

=2

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)3a=

1

a

即a=

3

3

時(shí)，取得最小值2

3

．
由于任意x∈R，f（x）≥m恒成立，
則m≤2

3

，
即有m的最大值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分類討論的思想方法，考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．