Question

已知p：對任意x∈R，不等式x²+ax+a＞0恒成立，q：方程x²+ay²=a表示的是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，如果命題“p且q”為假命題，命題“p或q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：由p：對任意x∈R，不等式x²+ax+a＞0恒成立，可得△＜0，解得a的取值范圍．由q：方程x²+ay²=a表示的是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，得

x2

a

+y2=1，a＞1．由于命題“p且q”為假命題，命題“p或q”為真命題，故p、q一真一假，解出即可．

解答： 解：p：對任意x∈R，不等式x²+ax+a＞0恒成立，∴△=a²-4a＜0，解得0＜a＜4，得a的取值范圍是0＜a＜4．
q：方程x²+ay²=a表示的是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，得

x2

a

+y2=1，故a＞1．
∵命題“p且q”為假命題，命題“p或q”為真命題，故p、q一真一假，
∴

0＜a＜4 a≤1

或

a≤0或a≥4 a＞1

，
解得0＜a≤1或a≥4．
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是：0＜a≤1或a≥4．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、復(fù)合命題的判定，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．