Question

拋物線x²=4y的準(zhǔn)線l與y軸交于點P，若l繞點P以每秒

π

12

弧度的角速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)t₁秒后，恰好與拋物線第一次相交于一點，再旋轉(zhuǎn)t₂秒后，恰好與拋物線第二次相相交于一點，則t₂的值為（　�。�

• A、6
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線的方程，找出p的值，進而得到其準(zhǔn)線方程和P的坐標(biāo)，根據(jù)直線l過P點，設(shè)出直線l的斜率為k時與拋物線相切，表示出此時直線l的方程，與拋物線聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，令根的判別式等于0列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出直線l的傾斜角，用求出的傾斜角除以角速度即可求出此時所用的時間t₁=3．同理，旋轉(zhuǎn)t₂秒后，恰好與拋物線第二次相相交于一點，則t₂=3．

解答： 解：根據(jù)拋物線的方程x²=4y，得到p=1，
所以此拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-1，P坐標(biāo)為（0，-1），
令恒過P點的直線y=kx-1與拋物線相切，
聯(lián)立直線與拋物線，消去y得：x²-4kx+4=0，得到△=k²-1=0，即k²=1，
解得：k=1或k=-1，
由直線l繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，k=-1不合題意，舍去，
則k=1，此時直線的傾斜角為

π

4

又P的角速度為每秒

π

12

弧度，
所以直線l恰與拋物線第一次相切，則t₁=3．
同理，旋轉(zhuǎn)t₂秒后，恰好與拋物線第二次相相交于一點，則t₂=3，
故選C．

點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的簡單性質(zhì)，直線與曲線相切位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的一般式步驟是；設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與曲線方程，整理可得一元二次方程，方程判別式等于0，求解參數(shù)的值．