Question

15．已知直線l₁，l₂過橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{{\frac{4}{3}}}$=1的中心且相互垂直的兩條直線，分別交橢圓于A，B，C，D，四邊形ABCD的面積的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{16\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 討論當(dāng)直線l₁的斜率不存在，直線l₂斜率為0，求得四邊形ABCD的面積為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，當(dāng)直線l₁、l₂的斜率存在時，設(shè)直線l₁：y=kx，直線l₂：y=-$\frac{1}{k}$x，代入橢圓方程，分別求得交點坐標(biāo)，由兩點距離公式，可得AB，CD的長，求得四邊形ABCD的面積，通過換元法，結(jié)合配方和二次函數(shù)的最值，即可得到最小值4．

解答 解：當(dāng)直線l₁的斜率不存在，直線l₂斜率為0，
即有四邊形ABCD的面積為S=$\frac{1}{2}$•2a•2b=2ab=2×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；
當(dāng)直線l₁、l₂的斜率存在時，設(shè)直線l₁：y=kx，直線l₂：y=-$\frac{1}{k}$x，
將直線y=kx代入橢圓方程，可得x²=$\frac{4}{1+3{k}^{2}}$，y²=$\frac{4{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
即有|AB|=2$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}$，
同理可得|CD|=2$\sqrt{\frac{4+4•（-\frac{1}{k}）^{2}}{1+3•（-\frac{1}{k}）^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{3+{k}^{2}}}$，
即有四邊形ABCD的面積為S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{3+{k}^{2}}}$=8$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{3{k}^{4}+10{k}^{2}+3}}$，
令1+k²=t（t＞1），則S=8$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{3{t}^{2}+4t-4}}$=8$\sqrt{\frac{1}{3+\frac{4}{t}-\frac{4}{{t}^{2}}}}$=8$\sqrt{\frac{1}{-4（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+4}}$，
當(dāng)$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{2}$，即t=2時，S取得最小值，且為8×$\frac{1}{2}$=4．
由4＜$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，可得四邊形ABCD的最小值為4．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運用，聯(lián)立直線方程，求交點，考查運算能力，屬于中檔題．