Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，且PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=BC=4，∠ABC=60°，點E是線段BC（包括端點）上的動點．
（Ⅰ）探究點E位于何處時，平面PAE⊥平面PED；
（Ⅱ）設(shè)二面角P-ED-A的大小α，直線AD與平面PED所成角為β，求證：α+β=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過點A作直線AM⊥AD，交直線BC于點M，以點A為原點，直線AM、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點E是BC中點或或與點C重合時，平面PAE⊥平面PED．
（Ⅱ）平面ADE的一個法向量為$\overrightarrow{AP}$=（0，0，4），由cosα=cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}$＞，sinβ=cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{m}$，得cosα=sinβ，由此能證明$α+β=\frac{π}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）如圖，過點A作直線AM⊥AD，交直線BC于點M，則AM=ABsin60°=$\sqrt{3}$，
BM=ABcos60°=1，∴MC=BC-BM=3，
以點A為原點，直線AM、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，4，0），P（0，0，4），A（0，0，0），
設(shè)點E（$\sqrt{3}$，t，0），（-1≤t≤3）
，$\overrightarrow{AP}$=（0，0，4），$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}，t，0$），$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{3}，t-4，0$），$\overrightarrow{DP}$=（0，-4，4），
設(shè)平面PED的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x+ty=0}\end{array}\right.$，取x=t，得$\overrightarrow{n}$=（t，-$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面PED的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\sqrt{3}a+（t-4）b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=-4a+4c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{4-t}{\sqrt{3}}$，1，1），
若平面PAE⊥平面PED，則$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴t（4-t）-3=0，解得t=1或t=3．
故點E是BC中點或或與點C重合時，平面PAE⊥平面PED．
證明：（Ⅱ）∵平面ADE的一個法向量為$\overrightarrow{AP}$=（0，0，4），
∴cosα=cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{4}{4\sqrt{\frac{（4-t）^{2}}{3}+2}}$，
sinβ=cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{4}{4\sqrt{\frac{（4-t）^{2}}{3}+2}}$，
∴cosα=sinβ，
∵α，β均為銳解，∴$α+β=\frac{π}{2}$．

點評 本題考查使得面面垂直的點的位置的確定，考查兩角互余的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．