Question

4．已知三棱錐P-ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為2$\sqrt{3}$的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直且相等，則球心到截面ABC的距離為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先利用正三棱錐的特點(diǎn)，將球的內(nèi)接三棱錐問題轉(zhuǎn)化為球的內(nèi)接正方體問題，從而將所求距離轉(zhuǎn)化為正方體中，中心到截面的距離問題，利用等體積法可實現(xiàn)此計算．

解答 解：∵正三棱錐P-ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，
∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，
∵球O的半徑為2$\sqrt{3}$，
∴正方體的邊長為4，即PA=PB=PC=4，
球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離，
設(shè)P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABC×h=$\frac{1}{3}$S_△PAB×PC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×4×4=$\frac{32}{3}$，
△ABC為邊長為4$\sqrt{2}$的正三角形，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$4\sqrt{2}$）²=8$\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴球心（即正方體中心）O到截面ABC的距離：2$\sqrt{3}$$-\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考球的內(nèi)接三棱錐和內(nèi)接正方體間的關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，點(diǎn)到面的距離問題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題．