Question

20．已知b＞a＞1，求證：ab（lnb-lna）＞blnb-alna．

Answer 1

分析 利用分析法的證明方法，通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后證明不等式即可．

解答 證明：要證ab（lnb-lna）＞blnb-alna，
即證明：lnb-lna＞$\frac{1}{a}$lnb-$\frac{1}$lna，
即$\frac{lnb}{1-\frac{1}}＞\frac{lna}{1-\frac{1}{a}}$，
即證$\frac{blnb}{b-1}＞\frac{alna}{a-1}$，
設(shè)f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，x＞1，則f′（x）=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，
設(shè)g（x）=x-lnx-1，則g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
∵x＞1，∴g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)，
g（x）＞g（1）=0，
∴f′（x）＞0，恒成立，∴f（x）是增函數(shù)，
所以$\frac{blnb}{b-1}＞\frac{alna}{a-1}$恒成立，
即b＞a＞1，ab（lnb-lna）＞blnb-alna成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，分析法證明不等式的方法，難度比較大，考查轉(zhuǎn)化思想以及邏輯推理能力計(jì)算能力．