【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ (x>0)過(guò)點(diǎn)P(1,0)作曲線(xiàn)y=f(x)的兩條切線(xiàn)PM,PN,切點(diǎn)分別為M,N,設(shè)g(t)=|MN|,若對(duì)任意的正整數(shù)n,在區(qū)間[2,n+ ]內(nèi),若存在m+1個(gè)數(shù)a1 , a2 , …am+1 , 使得不等式g(a1)+g(a2)+…g(am)<g(am+1),則m的最大值為( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】B
【解析】解:設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,
∵f′(x)=1﹣ ,
∴切線(xiàn)PM的方程為:y﹣(x1+ )=(1﹣ )(x﹣x1),
又∵切線(xiàn)PM過(guò)點(diǎn)P(1,0),∴有0﹣(x1+ )=(1﹣ )(1﹣x1),
即x12+2tx1﹣t=0,(1)
同理,由切線(xiàn)PN也過(guò)點(diǎn)P(1,0),得x22+2tx2﹣t=0.(2)
由(1)、(2),可得x1,x2是方程x2+2tx﹣t=0的兩根,
∴x1+x2=﹣2t,x1x2=﹣t(*)|MN|=
= ,
把(*)式代入,得|MN|= ,
因此,函數(shù)g(t)的表達(dá)式為g(t)= ,t>0,
知g(t)在區(qū)間[2,n+ ]為增函數(shù),
∴g(2)≤g(ai)≤g(n+ )(i=1,2,m+1),
則mg(2)≤g(a1)+g(a2)+…+g(am)≤mg(n+ ).
依題意,不等式mg(2)<g(n+ )對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立,
m < ,
即m< 對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立.
∵n+ ≥2 =16,∴ ≥ = ,
∴m< .由于m為正整數(shù),∴m≤6.
又當(dāng)m=6時(shí),存在a1=a2═am=2,am+1=16,對(duì)所有的n滿(mǎn)足條件.
因此,m的最大值為6.
故選:B.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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B.直線(xiàn)BC上
C.直線(xiàn)AC上
D.△ABC的內(nèi)部
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(1)y1=y(tǒng)2;
(2)y1>y2.
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【題目】如圖, 為正方體,下面結(jié)論:① 平面 ;② ;③ 平面 .其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】數(shù)列{an}滿(mǎn)足Sn=2n﹣an(n∈N*). (Ⅰ)計(jì)算a1 , a2 , a3 , a4 , 并由此猜想通項(xiàng)公式an;
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明(Ⅰ)中的猜想.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若函數(shù)y=f(x)ex在x=﹣1處取得極值,則下列圖象不可能為y=f(x)的圖象是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知命題p:方程x2+ax+2a=0有解;命題q:函數(shù)f(x)= 在R上是單調(diào)函數(shù).
(1)當(dāng)命題q為真命題時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)p為假命題,q為真命題時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知點(diǎn) 及圓 .
(1)設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn) 與圓 交于 兩點(diǎn),當(dāng) 時(shí),求以線(xiàn)段 為直徑的圓 的方程;
(2)設(shè)直線(xiàn) 與圓 交于 兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù) ,使得過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn) 垂直平分弦 ?若存在,求出實(shí)數(shù) 的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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