Question

20．如圖，在AB為直徑的半圓O上取一點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)與過(guò)B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，以C為切點(diǎn)作切線交AB的延長(zhǎng)線于G，交BD于F．
（1）求證：DF=BF；
（2）若AC=CG，求$\frac{AG}{CG}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接BC，運(yùn)用圓的切線長(zhǎng)定理和直徑所對(duì)的圓周角為直角，即可得到DF=BF；
（2）連接OF，由OF為△ABD的中位線，運(yùn)用中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得B為OG的中點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為r，可得BG=r，AG=3r，由切割線定理可得CG的長(zhǎng)，進(jìn)而得到所求比值．

解答 解：（1）證明：連接BC，
由切線長(zhǎng)定理可得，F(xiàn)C=FB，∠FCB=∠FBC，
又AB為直徑，BC⊥AB，
可得∠DCF+∠FCB=∠CDF+∠FBC=90°，
即有∠DCF=∠CDF，
即有FC=DF，
故DF=BF；
（2）連接OF，由OF為△ABD的中位線，
可得OF∥AC，
由AC=CG，可得OF=FG，
又FB⊥OB，
可得B為OG的中點(diǎn)，
設(shè)圓的半徑為r，可得BG=r，AG=3r，
由切割線定理可得，CG²=BG•AG，
解得CG=$\sqrt{3}$r，
則$\frac{AG}{CG}$=$\frac{3r}{\sqrt{3}r}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線長(zhǎng)定理、切割線定理和三角形的中位線定理的運(yùn)用，考查推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．