Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³-3x
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若方程x³-3x-a+1=0有三個相異的實數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間，從而求函數(shù)f（x）的極值；
（2）方程x³-3x-a+1=0即為方程x³-3x=a-1，令y=x³-3x和y=a-1，方程x³-3x-a+1=0有三個相異的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為判斷兩個函數(shù)何時有三個不同交點的問題，數(shù)形結(jié)合，問題得解．

解答 解：（1）f'（x）=3x²-3由f'（x）=0解得x=±1…（2分）
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值f（-1）	↘	極小值f（1）	↗

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）
單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，1）
函數(shù)的極大值是f（-1）=2，極小值是f（1）=-2                       …（6分）
（2）方程x³-3x-a+1=0即為方程x³-3x=a-1
令y=x³-3x和y=a-1，方程x³-3x-a+1=0有三個相異的實數(shù)根即上述兩個函數(shù)的圖象有三個不同的交點y=a-1是一條直線而y=x³-3x的圖象大致如下：

如圖要使兩個函數(shù)的圖象有三個不同的交點
則有：-2＜a-1＜2，解得：-1＜a＜3                                  …（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用圖象判斷方程的根的個數(shù)．利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．