Question

已知函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=kx-2k+5，對任意的m∈[1，4]，總存在n∈[1，4]，使得f（m）=g（n）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令x=-1，y=1，可求f（0）
（2）利用賦值法，令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1），結(jié)合f（0）=-2可求
（3）設(shè)函數(shù)f（x）x∈[1，4]的值域?yàn)锳，g（x），x∈[1，4]的值域?yàn)锽，由題意可得A⊆B，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求A，對g（x）=kx-2k+5，x∈[1，4]，分類討論：①當(dāng)k=0時(shí)，②當(dāng)k＞0，③當(dāng)k＜0時(shí)，結(jié)合函數(shù)g（x）在[1，4]上單調(diào)性可求B，從而可求k的范圍

解答：解：（1）令x=-1，y=1，則由已知f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2…（2分）
（2）令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2
∴f（x）=x²+x-2…（5分）
（3）記f（x）=x²+x-2，x∈[1，4]，值域?yàn)锳，g（x）=kx-2k+5，x∈[1，4]，值域?yàn)锽，
∵對任意的m∈[1，4]，總存在n∈[1，4]使f（m）=g（n），
∴A⊆B…（7分）
又f（x）=x²+x-2的對稱軸x=-

1

2

，
∴f（x）在[1，4]上單增，
∴f（x）_min=0，f（x）_max=18，
∴A=[0，18]…（8分）
又g（x）=kx-2k+5，x∈[1，4]
①當(dāng)k=0時(shí)，g（x）=5，
∴B={5}不合題意；…（9分）
②當(dāng)k＞0時(shí)，g（x）在[1，4]上單增，
∴B=[5-k，2k+5]，又A⊆B
∴

5-k≤0 2k+5≥18 k＞0

，
∴k≥

13

2

…（11分）
③當(dāng)k＜0時(shí)，g（x）在[1，4]上單減，
∴B=[2k+5，5-k]，又A⊆B
∴

5-k≥18 2k+5≤0 k＜0

，
∴k≤-13…（13分）
所以k的取值范圍為：k≤-13或k≥

13

2

．     …（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用賦值法求解函數(shù)的函數(shù)值、函數(shù)解析式，及二次函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的值域，集合之間包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于綜合試題