Question

已知函數(shù)(是常數(shù))在處的切線方程為，且.

（1）求常數(shù)的值；

（2）若函數(shù)()在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1），，（2）

【解析】

試題分析：（1）在處的切線切線斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，將代入切線方程可得即又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720013700092396/SYS201411172001453918106109_DA/SYS201411172001453918106109_DA.010.png">，解以上三個(gè)方程組成的方程組可得的值。（2）由（1）可知函數(shù)的解析式，從而可得函數(shù)解析式。將其求導(dǎo)可得，令，可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在內(nèi)有極值，即應(yīng)有2個(gè)根（判別式應(yīng)大于0），但在內(nèi)至少有一個(gè)根（故應(yīng)分兩種情況討論）。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720013700092396/SYS201411172001453918106109_DA/SYS201411172001453918106109_DA.019.png">，所以在內(nèi)有一個(gè)根時(shí)應(yīng)有，在內(nèi)有兩個(gè)根時(shí)應(yīng)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720013700092396/SYS201411172001453918106109_DA/SYS201411172001453918106109_DA.019.png">，則且頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于0

（1）由題設(shè)知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720013700092396/SYS201411172001453918106109_DA/SYS201411172001453918106109_DA.023.png">,,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720013700092396/SYS201411172001453918106109_DA/SYS201411172001453918106109_DA.022.png">在處的切線方程為，

所以,且，即,且,

又 ，解得，，

（2）由（Ⅰ）知

因此，

所以

令.

（ⅰ）當(dāng)函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)極值時(shí)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，即在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720013700092396/SYS201411172001453918106109_DA/SYS201411172001453918106109_DA.038.png">，當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，即，解得，所以有.

（ⅱ）當(dāng)函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)根，即二次函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不等根，

所以，解得.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是

考點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)；3轉(zhuǎn)化思想。