Question

17．已知點A是拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點F為該拋物線的焦點，點P在拋物線上且滿足|PF|=m|PA|，則m的最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合|PF|=m|PA|，則$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，設(shè)PA的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最小值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，即可求得結(jié)論．

解答 解：過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，則$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，
設(shè)PA的傾斜角為α，則sinα=m，
當(dāng)m取得最小值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，
設(shè)直線PA的方程為y=kx-1，代入x²=4y，可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴m的最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)m取得最小值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，屬中檔題．