Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過(guò)M（-2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)兩條漸近線與圓相切，可得雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．利用雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為，可得a²=1，從而可求雙曲線C的方程．
（2）直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），進(jìn)而根據(jù)直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個(gè)不等實(shí)根求得m的范圍，表示出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線l的方程，令x=0求得b關(guān)于k的表達(dá)式，根據(jù)m的范圍求得b的范圍．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0
∵該直線與圓相切，∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．故設(shè)雙曲線C的方程為．
又雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為，∴2a²=2，a²=1．
∴雙曲線C的方程為：x²-y²=1．
（2）由得（1-m²）x²-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
∵直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個(gè)不等實(shí)根．
因此，解得．又AB中點(diǎn)為，
∴直線l的方程為：．令x=0，得．
∵，∴，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題以直線與圓的位置關(guān)系為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系解題的關(guān)鍵是將直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個(gè)不等實(shí)根，從而確定m的范圍．用m表示b的過(guò)程即是建立目標(biāo)函數(shù)的過(guò)程，本題要注意k的取值范圍．