Question

19．如果橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1弦被點(diǎn)A（1，1）平分，那么這條弦所在的直線方程是x+4y-5=0．

Answer 1

分析 設(shè)這條弦與橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和P，Q坐標(biāo)代入橢圓方程，由作差，即可求得直線PQ的斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求直線方程．

解答 解：設(shè)這條弦與橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）代入x²+4y²=36，
得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=36①}\\{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=36②}\end{array}\right.$，
①-②，得2（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴這條弦所在的直線的方程y-1=-$\frac{1}{4}$（x-1），
即為x+4y-5=0，
由（1，1）在橢圓內(nèi)，則所求直線方程為x+4y-5=0．
故答案為：x+4y-5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)和直線的斜率公式是解題的關(guān)鍵．