Question

7．如圖，在正方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁，M為BC的中點，點N在四邊形CDD₁C₁及其內(nèi)部運動．若MN⊥A₁C₁，則N點的軌跡為（　�。�

• A． 線段
• B． 圓的一部分
• C． 橢圓的一部分
• D． 雙曲線的一部分

Answer 1

分析 正方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為BC的中點，點N在四邊形CDD₁C₁及其內(nèi)部運動，
取CD、C₁D₁的中點Q、P，連接PQ，得出點N在線段PQ上時，MN⊥A₁C₁，說明原因即可．

解答 解：正方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為BC的中點，點N在四邊形CDD₁C₁及其內(nèi)部運動；
如圖所示，
取CD、C₁D₁的中點Q、P，連接PQ，
當(dāng)點N在線段PQ上時，MN⊥A₁C₁；
因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連接B₁D₁，交A₁C₁于點O，∴B₁D₁⊥A₁D₁，
取B₁C₁的中點E，連接PE，則PE∥B₁D₁，
∴PE⊥A₁C₁；
又CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，PQ∥CC₁，
∴PQ⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∵A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴PQ⊥A₁C₁；
且PQ∩PE=P，
∴A₁C₁⊥平面PQME，
PQ?平面PQME，
∴A₁C₁⊥PQ；
∴N點的軌跡為線段PQ．
故選：A．

點評 本題以正方體為載體，考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力與邏輯思維能力的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．