Question

使函數(shù)f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足?x₁，x₂∈[0，

π

4

]，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0的θ的一個(gè)值是（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  2π

  3

• C、

  4π

  3

• D、

  5π

  3

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：依題意知y=f（x）為R上的奇函數(shù)，由f（0）=sin（θ+

π

3

）=0，可得θ=kπ-

π

3

（k∈Z），排除A、C、D，對(duì)B選項(xiàng)，利用已知信息驗(yàn)證即可．

解答： 解：∵f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+

π

3

）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴y=f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=sin（θ+

π

3

）=0，
∴θ+

π

3

=kπ（k∈Z），θ=kπ-

π

3

（k∈Z），可排除A、C、D，
又?x₁，x₂∈[0，

π

4

]，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
對(duì)于B，當(dāng)θ=

2π

3

時(shí)，f（x）=2sin（2x+π）=-2sin2x在[0，

π

4

]上為減函數(shù)，符號(hào)題意，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，求得θ=kπ-

π

3

（k∈Z），排除A、C、D是關(guān)鍵，看出正弦函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查轉(zhuǎn)化思想．