Question

10．如圖，一個直角三角形兩條直角邊分別為3cm和4cm，以斜邊AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，求這個幾何體的表面積與體積．

Answer 1

分析 由已知中，AC=3，BC=4，AB=5，可得三角形ABC為直角三角形，我們可以判斷出以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的形狀是AB邊的高CO為底面半徑的兩個圓錐組成的組合體，計算出底面半徑及兩個圓錐高的和，代入圓錐體積公式，即可求出旋轉(zhuǎn)體的體積；又由該幾何體的表面積是兩個圓錐的側(cè)面積之和，分別計算出兩個圓錐的母線長，代入圓錐側(cè)面積公式，即可得到答案．

解答 解：∵在三角形ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，
∴三角形ABC為直角三角形，
如圖以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得旋轉(zhuǎn)體是以AB邊的高CO為底面半徑的兩個圓錐組成的組合體

∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴CO=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
故此旋轉(zhuǎn)體的體積V=$\frac{1}{3}$•πr²•h=$\frac{1}{3}$•π•CO²•AB=$\frac{48π}{5}$π；
（2）又∵AC=3，BC=4，
故此旋轉(zhuǎn)體的表面積
S=πr•（l+l′）=2πCO•（AC+BC）=$\frac{84π}{5}$

點評 本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，圓錐的體積和表面積，其中根據(jù)已知判斷出旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的形狀及底面半徑，高，母線長等關(guān)鍵幾何量，是解答本題的關(guān)鍵．