Question

2．已知直線l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，若l₂與l₂交點(diǎn)在橢圓2x²+y²=1上，則k₁•k₂=-2．

Answer 1

分析 通過聯(lián)立兩直線方程可知l₁與l₂交點(diǎn)為（$\frac{2}{{k}_{2}-{k}_{1}}$，$\frac{{k}_{2}+{k}_{1}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$），并將其代入橢圓2x²+y²=1上，化簡(jiǎn)計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+1}\\{y={k}_{2}x-1}\end{array}\right.$，
則l₁與l₂交點(diǎn)為（$\frac{2}{{k}_{2}-{k}_{1}}$，$\frac{{k}_{2}+{k}_{1}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$），
∵直線l₁與l₂交點(diǎn)在橢圓2x²+y²=1上，
∴2（$\frac{2}{{k}_{2}-{k}_{1}}$）²+（$\frac{{k}_{2}+{k}_{1}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$）²=1，
整理得：$\frac{{{k}_{2}}^{2}+{{k}_{1}}^{2}+2{k}_{1}{k}_{2}+8}{{{k}_{2}}^{2}{{+k}_{1}}^{2}-2{k}_{1}{k}_{2}}$=1，
∴${{k}_{2}}^{2}$+${{k}_{1}}^{2}$+2k₁k₂+8=${{k}_{2}}^{2}$+${{k}_{1}}^{2}$-2k₁k₂，
∴k₁k₂=-2，
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．