Question

13．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為C的左右焦點(diǎn)，P為C右支上一點(diǎn)，且使∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，又△F₁PF₂的面積為3$\sqrt{3}$a²．
（I）求雙曲線C的離心率e；
（Ⅱ）設(shè)A為C的左頂點(diǎn)，Q為第一象限內(nèi)C上任意一點(diǎn)，問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠QF₂A=λ∠QAF₂恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合三角形的面積公式建立a，c的方程即可．
（2）設(shè)Q（asecθ，$\sqrt{3}$atanθ），根據(jù)兩角和差的正切公式建立方程公式進(jìn)行化簡(jiǎn)證明即可．

解答 解：（1）如圖，在△PF₁F₂中，由余弦定理，
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos$\frac{π}{3}$，
即4c²=（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁||PF₂|-2|PF₁||PF₂|cos$\frac{π}{3}$
=4a²+|PF₁||PF₂|，
則|PF₁||PF₂|=4c²-4a²=4b²，
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}×4^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$a²．
∴b²=3a²．c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2a，
則離心率e=$\frac{c}{a}=2$
（2）由（1），雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}$=1，
若QF₂⊥x軸，此時(shí)Q（2a，3a），c=2a，△QAF₂為等腰Rt△，
∠QAF₂=$\frac{1}{2}$QAF₂，
下證$λ=\frac{1}{2}$．
令Q（asecθ，$\sqrt{3}$atanθ），
tan∠QF₂A=-k_QF2=-$\frac{\sqrt{3}atanθ}{asecθ-2a}$=$\frac{\sqrt{3}tanθ}{2-secθ}$，
tan∠QAF₂=$\frac{\sqrt{3}atanθ}{asecθ+a}$=$\frac{\sqrt{3}tanθ}{secθ+1}$，
tan2∠QAF₂=$\frac{\frac{2\sqrt{3}tanθ}{secθ+1}}{1-（\frac{\sqrt{3}tanθ}{secθ+1}）^{2}}$=$\frac{xtacθ（secθ+1）}{（secθ+1）^{2}-3ta{c}^{2}θ}$=$\frac{2\sqrt{3}tacθ（secθ+1）}{-2secθ+2secθ+4}$=$\frac{2\sqrt{3}tanθ（secθ+1）}{-2（secθ+1）（secθ-2）}$=$\frac{\sqrt{3}tanθ}{2-secθ}$=tan∠QF₂A，
∴存在常數(shù)，使∠QAF₂=∠QF₂A恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和證明，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．