Question

4．已知雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點為M，第二象限的點P，Q在雙曲線的某條漸近線上，且$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，若△MPQ為等邊三角形，則下列結(jié)論正確的有①②（寫出所有正確結(jié)論的序號）
①雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x；
②雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
③雙曲線的頂點為（±2，0）；
④雙曲線的焦點為（±3，0）

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=-$\frac{a}$x，P的坐標為（m，-$\frac{a}$m），由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，可得Q（3m，-$\frac{3bm}{a}$），運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，運用等邊三角形的高為底邊的$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化簡整理，可得a，b的關(guān)系式，即可得到所求雙曲線的漸近線的方程，雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=-$\frac{a}$x，P的坐標為（m，-$\frac{a}$m），由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，可得：Q（3m，-$\frac{3bm}{a}$），
P，Q的中點為H（2m，-$\frac{2bm}{a}$），M（-a，0），
由MH⊥PQ，可得$\frac{-\frac{2bm}{a}}{2m+a}$=$\frac{a}$，
解得m=-$\frac{{a}^{3}}{2{c}^{2}}$，
可得|PQ|=$\sqrt{4{m}^{2}+\frac{4^{2}{m}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由等邊三角形MPQ可得，
|MH|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PQ|，
即有$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$，
即有b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．故①正確，
∵b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴c²=a²+b²=a²+$\frac{3}{4}$a²=$\frac{7}{4}$a²，
則e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{4}$，
則e=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，故②正確，
雙曲線的頂點坐標和焦點坐標不確定，故③④錯誤，
故答案為：①②

點評 本題考查命題的真假判斷，涉及雙曲線的漸近線方程的求法，離心率的計算，考查向量共線的坐標表示，以及點到直線的距離公式和兩直線垂直的條件，以及化簡整理的運算能力，綜合性較強，有一定的難度．