Question

2．如圖，在以AB為直徑的半圓上有三點(diǎn)P，C，Q，且∠CBA=∠PBQ=45°，BP與AC交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作PQ的平行線，交BQ于點(diǎn)N．
（1）求證：NA⊥AM；
（2）若AB=2，P是弧$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，求四邊形ABMN的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AQ，CP，證明：△ABN∽△PBC，得到∠BAN=∠BPC，結(jié)合四邊形ABPC是圓內(nèi)接四邊形，證明NA⊥AM；
（2）四邊形的面積分割成兩個(gè)三角形的面積的和，即可求四邊形ABMN的面積．

解答 （1）證明：連接AQ，CP，
∵M(jìn)N∥PQ，∴$\frac{BQ}{BN}=\frac{BP}{BM}$，
即BN•BP=BQ•BM，
∵∠CBA=∠PBQ=45°，∴∠ABQ=∠MBC，
又∵∠AQB=∠MCB=90°
∴△AQB∽△MCB，∴$\frac{AB}{BQ}=\frac{BM}{BC}$，即AB•BC=BQ•BM，
∴AB•BC=BN•BP，∴△ABN∽△PBC，
∴∠BAN=∠BPC，
又∵四邊形ABPC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠BPC=180°-∠BAC=135°，∴∠BAN=135°，
∴∠MAN=∠BAN-∠BAM=90°，∴NA⊥AM；                  …（5分）
（2）解：∵P是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，∴BP=PC，
由（Ⅰ）得AB=AN，∠PBC=∠PCB，
∵∠PCB=∠PQB，∠PBC=∠QBA，∴∠PQB=∠QBA，
∴AB∥PQ，∴AB∥MN，∴∠ANM=∠AMN=∠BAC=45°，
∴△MAN是等腰直角三角形，
又∵P是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，AB∥PQ，
∴Q是$\widehat{AC}$中點(diǎn)，∴∠ABQ=22.5°，∴∠MNB=∠ABN=22.5°，
∴∠ANB=∠ANM-∠BNM=22.5°，∴∠ANB=∠ABN，
∴AN=AM=AB=2，
∴${S_{ABMN}}={S_{△ABM}}+{S_{△NAM}}=\frac{1}{2}×2×2×sin45°+\frac{1}{2}×2×2=2+\sqrt{2}$．       …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查四邊形面積的計(jì)算，正確證明三角形相似是關(guān)鍵．