Question

【題目】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且滿足，若數(shù)列滿足，且等式對任意成立．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）將數(shù)列與的項相間排列構(gòu)成新數(shù)列，設(shè)該新數(shù)列為，求數(shù)列的通項公式和前項的和；

（3）對于（2）中的數(shù)列前項和，若對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）由4Sn＝（an+1）2，n＝1時，4a1，解得a1，n≥2時，4an＝4（Sn﹣Sn﹣1），化為：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，根據(jù)數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，可得an﹣an﹣1＝2，利用等差數(shù)列的通項公式可得an．

（2）數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2＝4，且等式bn2＝bn﹣1bn+1對任意n≥2成立．利用等比數(shù)列的通項公式可得bn．進而得出cn，T2n．

（3）Tn≥λcn，即n2+2n+1﹣2≥λcn，對n分類討論即可得出．

（1）由，即，所以，

兩式相減得，，

故，

因為，所以．

又由得．

所以，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．

所以，數(shù)列的通項公式為．

（2）由題意，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故．

所以，

數(shù)列的前項和，數(shù)列的前項和．

所以，．

（3）當為偶數(shù)時，設(shè)（），由（2）知，，，

由，得，

即，

設(shè)，則，

所以，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減．

因為，當時，，所以，．

所以，．

當為奇數(shù)時，設(shè)（），則，

，

由，得，即，

設(shè)，則

，故單調(diào)遞增，，故．

綜上，的取值范圍是．