Question

6．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，n∈N^*，求T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n=S_n-S_n-1計(jì)算、整理可知（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$•（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用分組法求和計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1，
∴4S_n=$（{a}_{n+1}-1）^{2}$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4（S_n-S_n-1）
=$（{a}_{n+1}-1）^{2}$-$（{a}_{n}-1）^{2}$
=${{a}_{n+1}}^{2}$+2a_n-2a_n+1-${{a}_{n}}^{2}$，
整理得：（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n），
又∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n+1-a_n=2（n≥2），
又∵${a}_{2}=2\sqrt{{S}_{1}}+1$=2+1=3=2+a₁滿足上式，
∴a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，
∴其通項(xiàng)公式a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{4{n}^{2}-1+1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$•（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），n∈N^*，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{4}$n+$\frac{1}{8}$•（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{4}$n+$\frac{1}{8}$•（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{4}$n+$\frac{1}{8}$•$\frac{2n}{2n+1}$
=$\frac{n（n+1）}{2（2n+1）}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．