Question

16．已知向量$\overrightarrow{p}$=（a_n，-2ⁿ），$\overrightarrow{q}$=（2ⁿ⁺¹，a_n+1），n∈N^*，向量$\overrightarrow{p}$ 與$\overrightarrow{q}$ 垂直，且a₁=1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log_2（a_n+1），求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)向量$\overrightarrow{p}$ 與$\overrightarrow{q}$ 垂直可知$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=0，代入計(jì)算、整理可知a_n+1=2a_n，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知b_n=n，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{p}$ 與$\overrightarrow{q}$ 垂直，
∴$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=0，即（a_n，-2ⁿ）•（2ⁿ⁺¹，a_n+1）=0，
∴2ⁿ⁺¹a_n-2ⁿa_n+1=0，即a_n+1=2a_n，
又∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式${a}_{n}={2}^{n-1}$；
（2）由（1）可知b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n，
∴S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2S_n=1×2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
兩式錯(cuò)位相減得：-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=-1-（n-1）•2ⁿ，
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+（n-1）•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與平面向量數(shù)量積的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．