如圖,在三棱錐中,,,D為AC的中點,.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
(1)證明過程詳見解析;(2).
解析試題分析:本題主要以三棱錐為幾何背景考查線線垂直、平行的判定,線面垂直,面面垂直的判定以及用空間向量法求二面角的余弦值,考查空間想象能力和計算能力.第一問,根據(jù)已知條件,取中點,連結,得出,再利用,根據(jù)線面垂直的判定證出平面,從而得到垂直平面內(nèi)的線,再利用為中位線,得出平面,最后利用面面垂直的判定證明平面垂直平面;第二問,由第一問知兩兩互相垂直,所以建立空間直角坐標系,得出點,以及坐標,利用已知先求出平面與平面的法向量,再利用夾角公式求出夾角的余弦值.
試題解析:(Ⅰ)取中點為,連結,.
因為,所以.
又,,所以平面,
因為平面,所以. 3分
由已知,,又,所以,
因為,所以平面.
又平面,所以平面⊥平面. 5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,兩兩互相垂直.
以為坐標原點,的方向為軸的方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系.
由題設知,,,.
則,,.
設是平面的法向量,則
即,可取. 9分
同理可取平面的法向量.
故. 11分
所以二面角的余弦值為. 12分
考點:1.線面垂直的判
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,,,且.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)棱上是否存在一點,使直線與平面所成的角是?若存在,求的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,平面,.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設分別為的中點,點為△內(nèi)一點,且滿足,
求證:∥面;
(Ⅲ)若,,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知:如圖,等腰直角三角形的直角邊,沿其中位線將平面折起,使平面⊥平面,得到四棱錐,設、、、的中點分別為、、、.
(1)求證:、、、四點共面;
(2)求證:平面平面;
(3)求異面直線與所成的角.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖所示,在四棱錐中,底面四邊形是菱形,,是邊長為2的等邊三角形,,.
(Ⅰ)求證:底面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的大小;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點,使得∥平面?如果存在,求的值,如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知AB為圓O的直徑,點D為線段AB上一點,且,點C為圓O上一點,且.點P在圓O所在平面上的正投影為點D,PD=DB.
(1)求證:平面;
(2)求點到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在長方體中,為線段中點.
(1)求直線與直線所成的角的余弦值;
(2)若,求二面角的大小;
(3)在棱上是否存在一點,使得平面?若存在,求的長;若不存在,說明理由.
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