Question

12．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．

$\bar x$	$\bar y$	$\bar w$	$\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$	$\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}$
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中${w_i}=\sqrt{x_i}$，$\bar w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^8{w_i}$
（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與$y=c+d\sqrt{x}$，哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；
（Ⅱ）根據(jù)（ I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z=0.2y-x，根據(jù)（ II）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：
（i）當(dāng)年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？
（ii）當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\bar v）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$，$\hat α=\overline v-\hat β\overline u$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖，即可判斷出，
（Ⅱ）先建立中間量w=

x

，建立y關(guān)于w的線性回歸方程，根據(jù)公式求出w，問(wèn)題得以解決；
（Ⅲ）（i）年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，代入到回歸方程，計(jì)算即可，
（ii）求出預(yù)報(bào)值得方程，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+d$\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型；
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于$\stackrel{∧}ou5an8b$=$\frac{108.6}{1.6}$=68，
$\stackrel{∧}{c}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}mpdjvmg$w=563-68×6.8=100.6，
所以y關(guān)于w的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68w，
因此y關(guān)于x的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，當(dāng)x=49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值$\stackrel{∧}{z}$=576.6×0.2-49=66.32，
（ii）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果可知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值$\stackrel{∧}{z}$=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
當(dāng)$\sqrt{x}$=6.8時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線性回歸方程和散點(diǎn)圖的問(wèn)題，準(zhǔn)確的計(jì)算是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題