Question

已知a為給定的正實數(shù)，m為實數(shù)，函數(shù)f（x）=ax³-3（m+a）x²+12mx+1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，3）上無極值點，求m的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，3），使得f（x₀）是f（x）在[0，3]上的最值，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 由題意得f′（x）=3ax²-6（m+a）x+12m=3（x-2）（ax-2m），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出m=a．
（Ⅱ） 由f′（x）=3（x-2）（ax-2m），利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 由題意得
f′（x）=3ax²-6（m+a）x+12m=3（x-2）（ax-2m），
由于f（x）在（0，3）上無極值點，故

2m

a

=2，
所以m=a．…（5分）
（Ⅱ） 由于f′（x）=3（x-2）（ax-2m），故：
（i） 當(dāng)

2m

a

≤0或

2m

a

≥3，即m≤0或m≥

3

2

a時，
取x₀=2即滿足題意．此時m≤0或m≥

3

2

a．
（ii） 當(dāng)0＜

2m

a

＜2，即0＜m＜a時，列表如下：

x	0	（0， 2m a ）	2m a	（ 2m a ，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	9m+1

故f（2）≤f（0）或f（

2m

a

）≥f（3），
即-4a+12m+1≤1或

-4m3+12m2a

a2

+1≥9m+1，
即3m≤a或

-m(2m-3a)2

a2

≥0，
即m≤

a

3

或m≤0或m=

3a

2

．
此時0＜m≤

a

3

．
（iii） 當(dāng)2＜

2m

a

＜3，即a＜m＜

3a

2

時，列表如下：

x	0	（0，2）	2	（2， 2m a ）	2m a	（ 2m a ，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	9m+1

故f（

2m

a

）≤f（0）或f（2）≥f（3），
即

-4m3+12m2a

a2

+1≤1或-4a+12m+1≥9m+1，
即

-4m2(m-3a)

a2

≤0或3m≥4a，
即m=0或m≥3a或m≥

4a

3

．
此時

4a

3

≤m＜

3a

2

．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是m≤

a

3

或  m≥

4a

3

． …（14分）

點評：本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．