Question

在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)．點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，tan∠OAB=2．二次函數(shù)y=x²+mx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為D．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置．將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點(diǎn)C．請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖象的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)（2）中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為B₁，頂點(diǎn)為D₁．點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖象上，且滿足△PBB₁的面積是△PDD₁面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得點(diǎn)B（0，2），由tan∠OAB=

OB

OA

=2，求得OA的值，可得 A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求得m的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）作CE垂直于x軸，點(diǎn)E為垂足，可得CE=OA=1，AE=OB=2，C（3，1）．設(shè)平移后所得圖象的函數(shù)解析式為y=x²-3x+c，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，求得c的值，可得平移后所得圖象的函數(shù)解析式．
（3）平移后所得圖象的函數(shù)解析式為y=x²-3x+1，它的圖象的對稱軸方程為x=

3

2

，且BB₁ =DD₁=1．由題意可得BB₁邊上的高是DD₁邊上的高的2倍．再分點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)時、點(diǎn)P在對稱軸的左側(cè)兩種情況，分別求得P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由題意可得點(diǎn)B（0，2），由tan∠OAB=2=

OB

OA

，求得 OA=1，可得 A（1，0），
再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=x²+mx+2，可得1+m+2=0，求得m=-3，
故函數(shù)y=x²-3x+2．
（2）作CE垂直于x軸，點(diǎn)E為垂足，∵∠CAB=90°，∴∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，
可得CE=OA=1，AE=OB=2，∴C（3，1）．
由于將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點(diǎn)C，可設(shè)平移后所得圖象的函數(shù)解析式為y=x²-3x+c，
再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，可得1=9-9+c，求得c=1，∴平移后所得圖象的函數(shù)解析式為y=x²-3x+1．
（3）平移后所得圖象的函數(shù)解析式為y=x²-3x+1，它的圖象的對稱軸方程為x=

3

2

，且BB₁ =DD₁=1．
由△PBB₁的面積是△PDD₁面積的2倍，可得BB₁邊上的高是DD₁邊上的高的2倍．
當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)時，由x=2（x-

3

2

），求得 x=3，可得P（3，1）．
當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的左側(cè)時，由-x=2（

3

2

-x），求得 x=1，可得P（1，-1）．
綜上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1），或（1，-1）．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移變換，體現(xiàn)了分類討論、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．