【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,證明恒成立.
【答案】(1)當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增;(2)證明見詳解.
【解析】
(1)求導(dǎo),對參數(shù)進行分類討論,進而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)將恒成立問題,轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)最值之間的問題,進而求解.
(1)由題意得,.
①當(dāng)時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
②當(dāng)時,在區(qū)間上,,在區(qū)間上,,
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(2)證明:
要證,只需證.
又,故只需證即可.
設(shè),則,
在區(qū)間上,,在區(qū)間上,,
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以.
設(shè),則,
在區(qū)間上,,在區(qū)間上,,
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以.
又,所以.
又因為,所以,
所以,
故在上,,
綜上,恒成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一款智能學(xué)習(xí)APP,學(xué)習(xí)內(nèi)容包含文章學(xué)習(xí)和視頻學(xué)習(xí)兩類,且這兩類學(xué)習(xí)互不影響.已知該APP積分規(guī)則如下:每閱讀一篇文章積1分,每日上限積5分;觀看視頻累計3分鐘積2分,每日上限積6分.經(jīng)過抽樣統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),文章學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表1所示,視頻學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表2所示.
(1)現(xiàn)隨機抽取1人了解學(xué)習(xí)情況,求其每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率;
(2)現(xiàn)隨機抽取3人了解學(xué)習(xí)情況,設(shè)積分不低于9分的人數(shù)為,求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,,過點作交于點,以為折痕把折起,當(dāng)幾何體的的體積最大時,則下列命題中正確的個數(shù)是( )
①
②∥平面
③與平面所成的角等于與平面所成的角
④與所成的角等于與所成的角
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《厲害了,我的國》是2018年在我國各影院上映的一部非常火的電影紀(jì)錄片,該部影片主要講述了我國近幾年的發(fā)展現(xiàn)狀和成就,影片通過講述中國故事,刻畫中國面貌,弘揚了中國精神,引起了國民的高度關(guān)注,上映僅半個月影片票房就突破了3億元,刷新了我國紀(jì)錄片的票房紀(jì)錄,某市一電影院為了解該影院觀看《厲害了,我的國》的觀眾的年齡構(gòu)成情況,隨機抽取了40名觀眾數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表:
年齡/歲 | [10,20) | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) |
人數(shù) | 6 | 8 | 12 | 6 | 4 | 2 | 2 |
(1)求所調(diào)查的40名觀眾年齡的平均數(shù)和中位數(shù);
(2)該電影院決定采用抽獎方式來提升觀影人數(shù),將《厲害了,我的國》的電影票票價提高20元/張,并允許購買電影票的觀眾抽獎3次,中獎1次、2次、3次分別獎現(xiàn)金20元、30元、60元,設(shè)觀眾每次中獎的概率均為,則觀眾在3次抽獎中所獲得的獎金總額的數(shù)學(xué)期望是多少元(結(jié)果保留整數(shù))?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項數(shù)列滿足4Sn=an2+2an+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示為一種魔豆吊燈,圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖,由正六棱錐和構(gòu)成,兩個棱錐的側(cè)棱長均相等,且棱錐底面外接圓的直徑為,底面中心為,通過連接線及吸盤固定在天花板上,使棱錐的底面呈水平狀態(tài),下頂點與天花板的距離為,所有的連接線都用特殊的金屬條制成,設(shè)金屬條的總長為y.
(1)設(shè)∠O1AO =(rad),將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式,并寫出θ的范圍;
(2)請你設(shè)計θ,當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時,金屬條總長y最。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三個校區(qū)分別位于扇形OAB的三個頂點上,點Q是弧AB的中點,現(xiàn)欲在線段OQ上找一處開挖工作坑P(不與點O,Q重合),為小區(qū)鋪設(shè)三條地下電纜管線PO,PA,PB,已知OA=2千米,∠AOB=,記∠APQ=θrad,地下電纜管線的總長度為y千米.
(1)將y表示成θ的函數(shù),并寫出θ的范圍;
(2)請確定工作坑P的位置,使地下電纜管線的總長度最。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐P﹣ABC中,已知PA,PB,PC兩兩垂直,PB=3,PC=4,且三棱錐P﹣ABC的體積為10.
(1)求點A到直線BC的距離;
(2)若D是棱BC的中點,求異面直線PB,AD所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人經(jīng)營淡水池塘養(yǎng)草魚,根據(jù)過去期的養(yǎng)殖檔案,該池塘的養(yǎng)殖重量(百斤)都在百斤以上,其中不足百斤的期,不低于百斤且不超過百斤的有期,超過百斤的有期.根據(jù)統(tǒng)計,該池塘的草魚重量的增加量(百斤)與使用某種餌料的質(zhì)量(百斤)之間的關(guān)系如圖所示.
魚的重量(單位:百斤) | |||
沖水機運行臺數(shù) | 1 | 2 | 3 |
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關(guān)關(guān)系,請建立關(guān)于的回歸方程;如果此人設(shè)想使用某種餌料百斤時,草魚重量的增加量須多于百斤,請根據(jù)回歸方程計算,確定此方案是否可行?并說明理由.
(2)養(yǎng)魚的池塘對水質(zhì)含氧與新鮮度要求較高,故養(yǎng)殖戶需設(shè)置若干臺增氧沖水機,每期養(yǎng)殖使用的沖水機運行臺數(shù)與魚塘的魚重量有關(guān),并有如下關(guān)系:
若某臺增氧沖水機運行,則該臺沖水機每期盈利千元;若某臺沖水機未運行,則該臺沖水機每期虧損千元.以頻率 作為概率,養(yǎng)殖戶欲使每期沖水機總利潤的均值達到最大,應(yīng)安裝幾臺增氧沖水機?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.
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