Question

某校高一學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，調(diào)查某種產(chǎn)品的生產(chǎn)和銷售情況時(shí)發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的出廠價(jià)格在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)，已知在一個(gè)周期內(nèi)3月份出廠價(jià)最高為8元，7月份出廠價(jià)最低為4元，而該商品在商店內(nèi)的銷售價(jià)格是在8元基礎(chǔ)山按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，并已知在一個(gè)周期內(nèi)5月份出廠價(jià)最高為10元，9月份銷售價(jià)最低為6元．學(xué)校超市每月進(jìn)這種商品m件，并且當(dāng)月售完．請你根據(jù)以上調(diào)查情況估計(jì)超市哪個(gè)月份盈利最大？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別設(shè)出出廠價(jià)波動(dòng)函數(shù)和售價(jià)波動(dòng)函數(shù)，利用最高和最低價(jià)分別振幅A和B，根據(jù)月份求得周期進(jìn)而求得ω₁和ω₂，根據(jù)最大值求得φ₁和φ₂，利用y=y₂-y₁，求得每件盈利的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得y取最大值時(shí)x的值．

解答： 解：設(shè)出廠價(jià)波動(dòng)函數(shù)為y₁=6+Asin（ω₁x+φ₁）
根據(jù)最高價(jià)格和最低價(jià)格可知A=2，T₁=8，ω₁=

π

4

，

3π

4

+φ₁=

π

2

，φ₁=-

π

4

∴y₁=6+2sin（

π

4

x-

π

4

）
設(shè)銷售價(jià)波動(dòng)函數(shù)為y₂=8+Bsin（ω₂x+φ₂）
易知B=2，T₂=8，ω₂=

π

4

，

5

4

π+φ₂=

π

2

，φ₂=-

3π

4

∴y₂=8+2sin（

π

4

x-

3

4

π）
每件盈利  y=y₂-y₁=[8+2sin（

π

4

x-

3π

4

）][6+2sin（

π

4

x-

π

4

）]=2-2

2

sin

π

4

x
當(dāng)sin

π

4

x=-1，

π

4

x=2kπ-

π

2

，x=8k-2時(shí)，y取最大值
當(dāng)k=1，即x=6時(shí)，y最大 
∴估計(jì)6月份盈利最大．

點(diǎn)評：本題主要考查了在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)的模型的問題．突顯了運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)來解決問題．