如圖，等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB．
（Ⅰ）若F為CD中點，證明：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若AB=BD，求直線EB與平面BCD所成角的余弦值．
考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（Ⅰ）取BD中點G，連結(jié)EG，GF，由已知條件推導(dǎo)出EG∥AB，GF∥BC，由此證明平面EFG∥平面ABC，從而得到EF∥平面ABC．
（Ⅱ）連結(jié)BF，則∠EBF為直線EB與平面BCD所成角，由此能求出直線EB與平面BCD所成角的余弦值．
解答： （Ⅰ）證明：取BD中點G，連結(jié)EG，GF，
∵等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，
BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB，
∴AE
∥
.
CB，∴ABGE是平行四邊形，∴EG∥AB，
∵F為CD中點，∴GF∥BC，
∵EG，GF?平面，EG∩FG=G，
∴平面EFG∥平面ABC，
∵EF?平面平面EFG，∴EF∥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，
BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB，G是BD中點，
∴EF⊥GF，EF⊥BD，∴EF⊥平面BDC，
連結(jié)BF，則∠EBF為直線EB與平面BCD所成角，
由題意知設(shè)BD=2AE=2，
則BF=
12+12
=
2
，BE=
12+22
=
5
，
∴cos∠EBF=
BF
BE
=
2
5
=
10
5
，
∴直線EB與平面BCD所成角的余弦值為
10
5
．
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=30°，AB=2CD=2AD=2DE=2，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且BD=2EF．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF；
（Ⅱ）若二面角C-BF-D的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某校高一學(xué)生參加社會實踐活動，調(diào)查某種產(chǎn)品的生產(chǎn)和銷售情況時發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的出廠價格在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動，已知在一個周期內(nèi)3月份出廠價最高為8元，7月份出廠價最低為4元，而該商品在商店內(nèi)的銷售價格是在8元基礎(chǔ)山按月份隨正弦曲線波動的，并已知在一個周期內(nèi)5月份出廠價最高為10元，9月份銷售價最低為6元．學(xué)校超市每月進(jìn)這種商品m件，并且當(dāng)月售完．請你根據(jù)以上調(diào)查情況估計超市哪個月份盈利最大？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有四個數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，且這四個數(shù)的首末兩項之和為37，中間兩項和為
36，求這四個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=AF=a，AB=2CD=2a．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面BCE；
（Ⅲ）求四棱錐C-ABEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)中心為坐標(biāo)原點O的橢圓C的短軸長為2，且一個焦點為F（1，0），
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（t，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，當(dāng)t＞
2
時，求△OAB面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

近年來，網(wǎng)上購物已經(jīng)成為人們消費的一種趨勢．為了獲得更多的利潤，某網(wǎng)店在國慶節(jié)前后搞了一次長達(dá)50天的促銷活動．在這50天內(nèi)，網(wǎng)店的銷售額（單位：萬元）與促銷時間（單位：天）的關(guān)系滿足f（t）=-
1
10
t（t-60），0≤t≤50；網(wǎng)店的投資額g（t）與促銷時間t的關(guān)系如下圖所示．（利潤=銷售額-投資額）
（Ⅰ）促銷活動的第30天，網(wǎng)店獲得的利潤為多少萬元？
（Ⅱ）請你寫出網(wǎng)店的投資額g（t）與促銷時間t之間的關(guān)系式；
（Ⅲ）在促銷活動的前30天內(nèi)，哪一天的銷售利潤最大？最大利潤是多少萬元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知總體中的10個個體的數(shù)值由小到大依次為c，3，3，8，a，b，12，13.7，18.3，20，且總體的中位數(shù)為10，平均數(shù)為10，若要使該總體的方差最小，則abc=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)y=f（x）對定義域的每一個值x1，在其定義域內(nèi)都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）=1成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．給出以下命題：
①y=
1
x2
是“依賴函數(shù)”；
②y=2x“依賴函數(shù)”；
③y=lnx是“依賴函數(shù)”；
④y=f（x），y=g（x）都是“依賴函數(shù)”，且定義域相同，則y=f（x）•g（x）是“依賴函數(shù)”．
其中所有真命題的序號是
 
．

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同步練習(xí)冊答案