Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x+1，若對(duì)區(qū)間（2，+∞）內(nèi)的任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)x₁，x₂都有$\frac{f（{x}_{1}-1）-f（{x}_{2}-1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}$]
• B． [-$\frac{5}{2}$，+∞）
• C． [-$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （-∞，$-\frac{5}{2}$]

Answer 1

分析 利用已知條件判斷函數(shù)的對(duì)稱軸與單調(diào)性的關(guān)系，列出不等式求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x+1，若對(duì)區(qū)間（2，+∞）內(nèi)的任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)x₁，x₂都有$\frac{f（{x}_{1}-1）-f（{x}_{2}-1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
即$\frac{f（{x}_{1}-1）-f（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）-（{x}_{2}-1）}$＞0，x₁-1，x₂-1∈（1，+∞），
可得：f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=$-\frac{2a-1}{2}$，
可得：$-\frac{2a-1}{2}≤1$，解得a≥$-\frac{1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．