Question

19．如圖，函數(shù)$f（x）=Asin{（ωx+φ）_{\;}}（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P，Q，R滿足P（2，0），∠PQR=$\frac{π}{4}$，M為QR的中點(diǎn)，PM=2$\sqrt{5}$，則A的值為-$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出Q（2a，0）a＞0，求出R坐標(biāo)以及M坐標(biāo)，利用距離公式求出Q坐標(biāo)，通過五點(diǎn)法求出函數(shù)的解析式，即可求出A．

解答 解：函數(shù)$f（x）=Asin{（ωx+φ）_{\;}}（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$
與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P，Q，R滿足P（2，0），
∠PQR=$\frac{π}{4}$，M為QR的中點(diǎn)，PM=2$\sqrt{5}$，
設(shè)Q（2a，0）a＞0，則R（0，-2a），∴M（a，-a），∵PM=2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{（a-2）}^{2}{+（-a）}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得a=4，T=12，ω=$\frac{π}{6}$．
∵函數(shù)經(jīng)過Q，R，∴$\left\{\begin{array}{l}{0=Asin（2×\frac{π}{6}+φ）}\\{-8=Asin（0+φ）}\end{array}\right.$．
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$∴φ=-$\frac{π}{3}$，∴A=$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．