Question

8．已知函數(shù)y=a^x+b（b＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，3），如下圖所示，則$\frac{4}{a}+\frac{1}$的最小值為3．

Answer 1

分析 由y=a^x+b（b＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，3），可得a+b=3，即$\frac{a}{3}+\frac{3}=1$，由$\frac{4}{a}+\frac{1}$=（$\frac{a}{3}+\frac{3}$）（$\frac{4}{a}+\frac{1}$），展開(kāi)后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵函數(shù)y=a^x+b（b＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，3），
∴a+b=3，則$\frac{a}{3}+\frac{3}=1$，
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{4}{a}+\frac{1}$=（$\frac{a}{3}+\frac{3}$）（$\frac{4}{a}+\frac{1}$）=$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{4b}{3a}+\frac{a}{3b}$
=$\frac{5}{3}+（\frac{4b}{3a}+\frac{a}{3b}）≥\frac{5}{3}+2\sqrt{\frac{4b}{3a}•\frac{a}{3b}}=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}=3$．
上式當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{a}+\frac{1}=1}\\{a=2b}\end{array}\right.$，即a=6，b=3時(shí)取“=”．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象變換，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是對(duì)“1”的靈活運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．