Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過點，其參數(shù)方程為，(為參數(shù)，)，以坐標(biāo)原點為極點，以軸的 非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線和曲線交于兩點，且，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)參數(shù)方程消去參數(shù)直接寫出的普通方程，利用將的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）方法①：將的參數(shù)方程代入到的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)的幾何意義結(jié)合條件等式求解出的值；

方法②：將的普通方程代入的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)韋達定理結(jié)合條件等式計算出的值即可.

（1）因為參數(shù)方程為，所以普通方程為：，

因為的極坐標(biāo)方程為，所以的直角坐標(biāo)方程為；

（2）方法①：將曲線的參數(shù)方程化為(為參數(shù)，)，

代入曲線得方程，

由得，

設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則把上式代入，

化簡得，解得或，

而，故為所求；

方法②：將曲線代入曲線得方程，

由得，

設(shè)方程的兩個根分別為，不妨設(shè)，則，，

由題意得，即，

把，代入，

所以，

化簡得，解得，此為所求.