Question

6．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=4，∠BAC=90°，D為側(cè)面ABB₁A₁的中心，E為BC的中點(diǎn)
（1）求證：平面B₁DE⊥側(cè)面BCC₁B₁；
（2）求異面直線A₁B與B₁E所成的角；
（3）求點(diǎn)A₁到面B₁DE的距離．

Answer 1

分析 （1）證明平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁，只要證明DB₁E經(jīng)過平面BCC₁B₁的一條垂線即可，由三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，且底面為等腰直角三角形可得答案；
（2）取AE中點(diǎn)F，連接DF，則DF∥B₁E，∠BDF為異面直線A₁B與B₁E所成的角，利用余弦定理求解即可；
（3）利用等體積方法求點(diǎn)A₁到面B₁DE的距離．

解答 （1）證明：如圖，
連結(jié)AE，∵AB=AC，且E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BB₁⊥AE．
BC∩BB₁=B，∴AE⊥平面BCC₁B₁，由AE?平面DB₁E．
∴平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁；（4分）
（2）解：取AE中點(diǎn)F，連接DF，則DF∥B₁E
所以∠BDF為異面直線A₁B與B₁E所成的角（6分）
在△BDF中，BD=2$\sqrt{2}$，DF=$\frac{1}{2}$B₁E=$\sqrt{6}$，BF=$\sqrt{E{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴cos∠BDF=$\frac{8+6-10}{2•2\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$
∴求異面直線A₁B與B₁E所成的角arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$（8分）
（3）因?yàn)镈為A₁B的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B到面B₁DE的距離等于點(diǎn)A₁到面B₁DE的距離h
由等體積得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{6}•\sqrt{8-6}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×4$
∴h=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面與平面垂直的判定，考查異面直線A₁B與B₁E所成的角、點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，是中檔題．