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19.設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1+a22+a322+…+an2n1=2n,n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an
(2)設(shè)bn=log2an,數(shù)列{anbn}的前n項和為Sn,求Sn

分析 (1)利用遞推關(guān)系即可得出;
(2)bn=log2an=2n,可得anbn=n•2n+1,利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.

解答 解:(1)∵數(shù)列{an}滿足:a1+a22+a322+…+an2n1=2n,n∈N*
∴當n=1時,a1=2;n≥2時,a1+a22+a322+…+an12n2=2(n-1).可得an2n1=2,∴an=2n
當n=1時也成立,∴an=2n
(2)bn=log2an=2n,
∴anbn=n•2n+1,
∴數(shù)列{anbn}的前n項和為Sn=22+2×23+3×24+…+n•2n+1,
∴2Sn=23+2×24+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2,
∴-Sn=22+23+…+2n+1-n•2n+2=42n121-n•2n+2=(1-n)•2n+2-4,
∴Sn=(n-1)•2n+2+4.

點評 本題考查了“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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